W  XXI wieku, epoce nauki i techniki, może się nam wydawać, że nie istnieją problemy, których nie bylibyśmy w stanie rozwiązać. Ludzie latają w kosmos, tworzą szczepionki przeciwko groźnym chorobom, badają najodleglejsze zakątki wszechświata. Wszystko to jeszcze wiek temu mogło wydawać się niemożliwe. Nie trzeba jednak długo szukać, aby odnaleźć zagadnienia, których pomimo olbrzymiego postępu niemal we wszystkich dziedzinach nie potrafimy i nie wiadomo czy kiedykolwiek będziemy w stanie wyjaśnić.

Jako jeden z klasycznych przykładów wypada wskazać grę w szachy, która może potoczyć się na 10134 możliwych sposobów. Nawet dysponując komputerem analizującym 1012 ruchów na sekundę, aby przebrnąć przez całość, potrzebowalibyśmy około 10108 lat. Zwiększając wydajność tryliard razy, okres oczekiwania zmniejszymy do „zaledwie” 1090 lat. Aby uświadomić sobie, o jak wielkich liczbach tutaj mowa, można dodać, że według szacunków cały widziany przez nas wszechświat składa się z około 1070 atomów. Już w lutym 1996 roku komputer IBM Deep Blue pokonał mistrza świata Garriego Kasparowa. Mimo że maszyna nie była w stanie odnaleźć najlepszej możliwej strategii, wystarczyło, że zrobiła to lepiej od człowieka.

Wzór na liczby pierwsze

Szachy są jednak tylko wierzchołkiem góry lodowej. U podstaw leżą znacznie większe problemy, które dręczą uczonych od wieków. W tym artykule opiszę jedno z największych, niewyjaśnionych zagadnień z teorii liczb – hipotezę Goldbacha.

Liczby pierwsze, bo właśnie o nich będzie tutaj mowa, interesowały chyba niejednego matematyka, informatyka lub nawet ciekawskiego studenta. Najprościej mówiąc, liczba pierwsza to taka, która jest podzielna tylko przez siebie i jeden. Najmniejszą liczbą pierwszą jest dwójka. W zbiorze liczb całkowitych możemy wyróżnić zbiór liczb pierwszych i zbiór liczb złożonych. Każdą liczbę całkowitą można rozłożyć w jeden jednoznaczny sposób na czynniki pierwsze. Przykładowe rozkłady na czynniki pierwsze: 20 = 2 x 2 x 5; 50 = 5 x 5 x 2.

Fakt I: Każdą liczbę całkowitą można rozłożyć w jeden jednoznaczny sposób na czynniki pierwsze.

Co pociąga za sobą:

Fakt II: Każda liczba całkowita n > 2 ma dzielnik będący liczbą pierwszą.

Wiele wielkich umysłów stawiało sobie pytanie: Czy istnieje jakiś wzór, z którego można obliczać kolejne liczby pierwsze? Chyba jedno z najlepszych i najprostszych w zapisie rozwiązań odnalazł Euler (patrz: Tabela 1).

Tabela 1

Wzór Eulera I Wzór Eulera II n2 + n + 41prawidłowy dla n z przedziału <1; 39> n2 – 89n + 1601Prawidłowy dla n z przedziału <1; 79>

Należy jednak w tym miejscu dodać, że nie odkryto wzoru umożliwiającego obliczanie wszystkich liczb pierwszych. Od około 300 r. p.n.e. wiemy także, że liczb pierwszych jest nieskończenie wiele.

Możemy założyć, że n jest największą liczbą pierwszą. Wyobraźmy sobie liczbę n!+1. Zgodnie z faktem I musi się ona rozkładać na iloczyn liczb pierwszych. Liczba n!+1 nie dzieli się jednak przez żadną liczbę pierwszą z przedziału <2; n> więc albo istnieje liczba pierwsza z przedziału <n+2; n!-1>, która dzieli n!+1, albo n!+1 jest liczbą pierwszą, co jest sprzeczne z naszym początkowym założeniem.

Gęstość rozmieszczenia

Fakt III: Liczb pierwszych jest nieskończenie wiele.

Wiedząc już, że liczb pierwszych jest nieskończenie wiele, można zadać pytanie: Ile jest liczb pierwszych mniejszych lub równych N?

Jak widać w Tabeli 2, ilość liczb pierwszych zmniejsza się. Do 1000 znajdziemy ich 168, a do 1 000 000 000 już tylko 50 847 534. Gdyby ich gęstość cały czas była jednakowa, to byłoby ich tutaj ponad trzy razy więcej – około 168 000 000. Już ok. 1840 roku Carl Friedrich Gauss na podstawie własnych badań empirycznych sformułował podstawowe twierdzenie o rozmieszczeniu liczb pierwszych, mówiące, że liczba π(n) liczb pierwszych w przedziale <1, n> opisana jest zależnością: π(n) ~ Li(n) . Symbol Li(n) określa resztę logarytmu całkowego, a falistą kreskę nazywamy tyldą – matematycy mówią, że jest to symbol równości asymptotycznej. Najprostsze przybliżenie funkcji π można określić w następujący sposób: π(n) ≈ n / ln(n) . Gauss nie potrafił poprzeć dowodem swojego twierdzenia. Zostało ono udowodnione dopiero pod koniec XIX wieku przez Francuzów: de la Vallee Poussina i Hadamarda.

Fakt IV: Wraz ze wzrostem wartości liczb naturalnych spada gęstość rozmieszczenia liczb pierwszych między nimi. Zjawisko to opisuje twierdzenie o liczbach pierwszych.

Przyjrzyjmy się liczbom: 5! + 2; 5! + 3; 5! + 4, 5! + 5. Łatwo zauważyć, że żadna z nich nie może być pierwszą. W przypadku 5! + 2 dwójka dzieli oba składniki liczby, zarówno 5!, jak i 2, i dlatego całość jest także podzielna przez 2. W przypadku pozostałych liczb możemy postępować analogicznie. Oczywiście zasada ta będzie także prawidłowa, gdy weźmiemy pod uwagę np. liczbę 10 000 000 000! + 2 i wszystkie następne aż do 10 000 000 000! + 10 000 000 000. Wskażemy więc w tym przypadku ciąg dziesięciu miliardów kolejnych liczb całkowitych, w których nie ma żadnej liczby pierwszej.

Hipoteza mocna i słaba

Fakt V: W przedziale <n! + 2; n! + n> gdzie n > 2 i n ∈ ℤ nie ma żadnej liczby pierwszej.

7 czerwca 1742 roku pruski matematyk Christian Goldbach w liście do Leonharda Eulera postawił hipotezę, że: „Każda liczba naturalna większa niż 2 może być przedstawiona w postaci sumy trzech liczb pierwszych (ta sama liczba pierwsza może być użyta dwukrotnie)”.

Euler stwierdził, że sformułowanie można uprościć do twierdzenia: „Każda liczba naturalna parzysta większa od 2 jest sumą dwóch liczb pierwszych”. Przykłady: 4 = 2 + 2; 6 = 3 + 3; 8 = 3 + 5 ...

O ile hipoteza może wydawać się banalna i sprawdzenie jej dla niewielkich liczb nie stanowi problemu, to nikomu dotąd nie udało się formalnie dowieść, że zależność ta zachodzi w przypadku wszystkich liczb.

Można spotkać się także z tzw. słabą hipotezą Goldbacha, która mówi, że „każda liczba nieparzysta większa od 7 jest sumą trzech nieparzystych liczb pierwszych”. W wielu źródłach możemy odnaleźć informację, że wersja ta jest bliska udowodnienia, co chyba nie jest do końca prawdą. Owszem poczyniono na tym polu wielkie postępy i stwierdzono, że wszystkie liczby nieparzyste większe od ok. 2 x 101346 można zapisać jako sumę trzech nieparzystych liczb pierwszych. Jednak tak wysoko postawiona górna poprzeczka nadal nie pozwala wykonać analizy komputerowej dla wszystkich pozostałych przypadków. Aby uświadomić sobie, jak wielka jest to liczba, można porównać ją do liczby możliwych rozgrywek szachowych lub atomów we wszechświecie, o których wspomniałem we wstępie.

Problem I: Czy wszystkie liczby parzyste większe od 2 można przedstawić w postaci sumy dwóch liczb pierwszych?

Rozwiązanie: Nieznane

Przeanalizujmy Tabelę 3.

W dużym uproszczeniu można powiedzieć, że im większą liczbę weźmiemy pod uwagę, tym więcej jest możliwości zapisu jej w postaci określonej sumy liczb pierwszych. Dla przykładu w przypadku 2,5 x 106 + 2 odnajdziemy 1 201 614 różnych sum, a dla 25001 jest ich 190 561. Można zadać w tym miejscu proste pytanie: Czy istnieje funkcja określająca, na ile różnych sposobów (tj. sum) można przedstawić daną liczbę?

Podczas prac postanowiłem przeanalizować słabą hipotezę. Wykorzystując program Statistica oraz wyniki wygenerowane dzięki własnemu oprogramowaniu uzyskałem wzór funkcji, która np., gdy liczba x jest podzielna zarówno przez 3, jak i 5 oraz 7, wygląda następująco: f(x) = 2·10-5 x2 + 0,7426 x – 249,2182. Błąd wynikający z przybliżenia jest stosunkowo niewielki i wynosi kilka procent.

Rys. 1. Rozkład według „słabej” hipotezy Goldbacha

Orientacja: OX – kolejne liczby nieparzyste z zakresu <4; 5000>, OY – ilość różnych możliwości zapisu określonej liczby w postaci trzech nieparzystych liczb pierwszych

Nie wszystko można kupić

Na Międzynarodowym Kongresie Matematyków w 1900 roku David Hilbert zaprezentował słynną listę 23 problemów matematycznych, którą nazywamy „Listą problemów Hilberta”. Na ósmej pozycji odnajdziemy hipotezę Goldbacha oraz hipotezę Riemanna – są to cały czas zagadnienia otwarte. Najprawdopodobniej nawet sam twórca listy nie zdawał sobie sprawy z problematyki teorii i z tego, że nawet po ponad 100 latach rozwoju nauki pozostaną pytania bez odpowiedzi.

W roku 1923 Godfrey Harold Hardy i John Edensor Littlewood udowodnili, że przy założeniu uogólnionej hipotezy Riemanna „słaba” hipoteza Goldbacha jest prawdziwa dla wszystkich „dostatecznie dużych” liczb nieparzystych. W 1937 sowiecki matematyk Iwan Winogradow dowiódł, że każda dostatecznie duża liczba nieparzysta daje się przedstawić jako suma trzech nieparzystych liczb pierwszych – jest to twierdzenie Winogradowa. Po dwóch latach Brodzin, uczeń Winogradowa, poprawił rezultat i udowodnił, że „dostatecznie duża” oznacza w tym przypadku „większa od 314348907” – liczba ta ma aż 6846169 cyfr dziesiętnych. Za bardziej współczesne można uznać rezultaty prof. Oliviera Ramarégo z Uniwersytetu w Lille, który w 1995 roku stwierdził, że każda liczba parzysta większa od 4 jest sumą co najwyżej sześciu liczb pierwszych. Całkiem niedawno chiński matematyk Chen Jingrun dowiódł, korzystając z tzw. metody sita, że każda dostatecznie duża liczba parzysta jest albo sumą dwóch liczb pierwszych, albo liczby pierwszej i półpierwszej.

Znane i nierozwiązane od wieków problemy mają także swoje odbicie w kulturze. Apostolos Doxiadis tematyce hipotezy Goldbacha poświęcił jedną ze swoich książek Zabójcza hipoteza . Opowiada ona o obsesyjnych próbach udowodnienia przez greckiego matematyka Petrosa omawianej przez nas hipotezy. Dzieło zostało przełożone na 25 języków i zyskało dużą sympatię czytelników, którzy mieli okazję poznać uczucia skazanego na klęskę naukowca. Po publikacji książki wydawnictwa Faber and Faber i Bloomsbury Publishing ogłosiły, że ten, kto w ciągu dwóch lat rozwiąże problem matematyczny, otrzyma milion dolarów. Taką samą nagrodę oferował także Instytut Claya. Za pieniądze jednak nie można kupić wszystkiego – nawet w matematyce.

Czasem problemy, które wydają się bardzo trudne, mają trywialnie proste rozwiązania. Doskonałym przykładem może być pytanie z 1861 roku, które zadał Moritz Cantor: Czy poza trójką 3, 5, 7 trzy kolejne liczby pierwsze mogą tworzyć ciąg arytmetyczny? Przez prawie sto lat część matematyków uważała, że jest to niemożliwe. Z pewnością Andrzej Schinzel był bardzo zdziwiony, gdy w 1961 roku zauważył, że liczby 47, 53 i 59 spełniają ten warunek. Dzisiaj dzięki komputerom możemy z łatwością znajdować olbrzymie ilości takich „trójek”. Obrazuje to, jak zwodniczą i zagadkową nauką potrafi być matematyka.

Labirynt pułapek

Na sam koniec pozostaje chyba najprostsze pytanie: Po co to wszystko? Po co dowodzić poprawności lub jej braku w przypadku jakichś hipotez? Czy ma to jakieś praktyczne zastosowanie? O ile matematykę nazywano Nauką Bogów i Królową Nauk, to samą teorię liczb można byłoby chyba scharakteryzować jako najczystszą ze wszystkich dziedzin matematyki – sztukę dla sztuki. Sam matematyk jest przeciwieństwem inżyniera – zajmuje się on rzeczami będącymi czystą abstrakcją, o której większość ludzkości nawet nie chce wiedzieć i które najczęściej aktualnie nie mają żadnego wpływu na nasze życie, a dopiero następne pokolenia mogą dostrzec ich zastosowanie. Sam Anglik John Edensor Littlewood, spytany, czego dokonał, ze smutkiem odpowiedział, że całe jego życie i wszystkie prace są jednym wielkim zerem, ponieważ nic z nich nie przekłada się na coś wykraczającego poza rozważania teoretyczne. Dopiero po wielu dziesięcioleciach elementy jego prac znalazły zastosowanie m.in. w szyfrowaniu.

W matematyce trudno przewidzieć, co może przynieść jutrzejszy dzień. Niektórzy ludzie chcieliby wiedzieć tylko, ile trzeba zapłacić, aby rozstrzygnąć określony problem. Nie wszystko można przeliczyć na pieniądze, a o badaniach decyduje najczęściej chęć poznania czegoś, co było dotychczas nieznane i niedostępne. Jak wyglądałyby dzieje ludzkości, gdyby wszystko można było perfekcyjnie zaplanować? Jak wyglądałby świat, gdyby zabrakło takich ludzi jak Euklides, Euler, Gauss, Einstein lub Turing?

Niektórzy matematycy sądzą, że hipotezy Goldbacha nie da się nigdy udowodnić lub obalić, gdyż jest ona nierozstrzygalna w sensie Gödla. To właśnie Kurt Gödel udowodnił, że istnieją poprawnie sformułowane zdania dotyczące liczb naturalnych, których prawdziwości nie da się ani dowieść, ani jej zaprzeczyć. Być może cała hipoteza jest po prostu labiryntem pełnym ślepych zaułków i pułapek, z którego nie ma żadnego wyjścia, a największe umysły tego świata tylko zmarnowały życie, próbując coś z nią zrobić. Nie można jednak bezwzględnie stwierdzić, czy danego problemu nie da się rozwiązać, czy po prostu jest on tak trudny, że aktualnie nie widzimy rozwiązania.

Bibliografia:

http://goldbach.plhttp://jknow.republika.pl/szachy/szachy.htmlPaweł Gładki „Mniej i bardziej znane problemy z teorii liczb”http://math.us.edu.pl/~pgladki/inedita/protl.pdf