„Geometria fraktalna spowoduje, że zobaczysz świat innymi oczyma. W dalszej lekturze kryje się niebezpieczeństwo. Możesz utracić swój nabyty w dzieciństwie sposób patrzenia na świat. Inne wydadzą Ci się chmury, lasy, galaktyki, liście, pióra, skały, góry, wzory na wodzie, dywanach, murach i wiele innych rzeczy. I już nigdy nie będą te same”. Tymi słowami Michael Barnsley rozpoczyna słynną już książkę Fraktale wszędzie . I kryje się w nich sporo prawdy: każdy, kto poznał istotę konstrukcji fraktali i przekonał się, że fraktale są praktycznie wszechobecne, już nigdy nie spojrzy na otaczający świat w ten sam sposób. Geometria fraktalna, stosunkowo młoda dziedzina matematyki, potrafi zaskoczyć nie tylko pięknem zależności rekurencyjnych, ale przede wszystkim pięknem powstających na podstawie tych zależności obrazów fraktalnych. Z dużą szansą na powodzenie geometria fraktalna może ubiegać się o miano sztuki, a przykłady ich obecności można odnaleźć w twórczości m.in. Dalego i Malewicza.

Czym więc są fraktale? Odpowiedź na to pytanie nie jest oczywista. Ze względu na ogromną różnorodność fraktali trudno tu o definicję w sensie matematycznym. Aby opisać ich strukturę, przytoczę kilka cech, które powinny spełniać. Są to twory matematyczne cechujące się samopodobieństwem bez względu na skalę, w której je obserwujemy, tj. mały fragment fraktala jest do złudzenia podobny do całości, a wycinek z tego fragmentu jest podobny i do poprzedniego większego fragmentu, i do całości. I tak w nieskończoność. Proces ten jest powiązany z rekurencyjnością, czyli odwoływaniem się większych elementów fraktala do coraz mniejszych, co stanowi drugą cechę. Z geometrii euklidesowej wiemy dobrze, że odcinek ma wymiar topologiczny 1, kwadrat – 2, a sześcian – 3. W przypadku fraktali te wymiary są ułamkowe, np. dywan Sierpińskiego ma wymiar fraktalny 1.89, gąbka Mengera – 2.73, a nie, jak mogłoby się wydawać, odpowiednio 2 i 3. Z tego względu fraktale bazujące na kształtach deterministycznych wyglądają poniekąd jak kawałek sera ementalskiego. „Dziurawość” i ułamkowy wymiar fraktalny (chociaż z nielicznymi wyjątkami) jest trzecią cechą decydującą o fraktalnej strukturze.

Dziwolągi czy nowy sposób opisu wszechświata?

Trudne początki geometrii fraktalnej sięgają przełomu XIX-XX wieku, kiedy to ówcześni słynni matematycy Georg Cantor, Giuseppe Peano i David Hilbert, znani głównie dzięki fundamentalnym pracom z zakresu teorii mnogości i teorii liczb, zaproponowali pewne dziwne twory matematyczne, znane dzisiaj jako zbiór Cantora oraz krzywe Peano i Hilberta. Do wymienionych już fraktali można dołączyć krzywą i płatek śniegu von Kocha, pochodzące z tego samego okresu. Jak w wielu przypadkach znanych w historii nauki zaproponowane twory matematyczne były skrytykowane i ochrzczone dziwolągami matematycznymi przez ówczesne gremia naukowe ze względu na ich dziwne własności i odsunięte w kąt intensywnie rozwijającej się wtenczas matematyki. W późniejszych latach powstały trójkąt i dywan Sierpińskiego, znanego polskiego matematyka, również zajmującego się teorią mnogości. Nowy krok w dziedzinie geometrii fraktalnej zrobili dwaj matematycy francuscy, Gaston Julia i Pierre Fatou, prekursorzy teorii systemów dynamicznych, którzy przedstawili szereg zbiorów rekurencyjnych w dziedzinie zespolonej, generujących bardzo skomplikowane i jednocześnie piękne kształty.

Jednak prawdziwą rewolucję w dziedzinie geometrii fraktalnej zapoczątkował francuski matematyk Benoit Mandelbrot, noszący zaszczytny tytuł ojca geometrii fraktalnej i autor samej nazwy „fraktal”. Pomimo prac teoretycznych, w których uogólnił zbiory zaproponowane przez Julia i Fatou, i stworzył zbiór nazywany teraz jego imieniem, wykazał, że geometria fraktalna może sięgać daleko poza problemy czysto teoretyczne. W swoich badaniach zajął się analizą statystyk rynkowych i zauważył, że wahania cen na bawełnę za okres stu lat posiadają ukrytą symetrię, a co najważniejsze – możliwy jest opis matematyczny tych wahań. Badania Mandelbrota ukazały ogromny potencjał praktycznych zastosowań fraktali nie tylko w ekonomii, ale niemalże we wszystkich dziedzinach nauki, gdzie obecne są wysoce nieregularne struktury danych. W mig przekształciły się z dziwolągów matematycznych w skuteczne narzędzia do rozwiązania wydawałoby się dotąd nierozwiązywalnych zagadnień nauki.

Dzięki fraktalom stał się możliwy opis kształtów gór, drzew, chmur, płomieni ognia, które geometria euklidesowa określała jako bezkształtne i dyskwalifikowała już na starcie. Za pomocą algorytmów geometrii fraktalnej można nie tylko opisywać kształty krajobrazów, stało się możliwe modelowanie tych kształtów, a do tego w tak realistyczny sposób, że często krajobrazy fraktalne mogłyby konkurować z fotografiami rzeczywistych krajobrazów. Dlatego zaczęto je wykorzystywać nie tylko w grach komputerowych, ale również w filmach produkowanych przez najlepsze wytwórnie filmowe Hollywoodu. Przyczyniły się również do znacznych postępów w medycynie, genetyce i biologii, z ich pomocą opisuje się cząsteczki i łańcuchy DNA, rozwinięto metody pozwalające na wczesne wykrywanie nowotworów. Fraktale dały początek całemu szeregowi nowych metod i tworów myśli inżynierskiej, poczynając od opisu pól magnetycznych, poprzez nowe materiały ceramiczne i kompozytowe stosowane do specjalistycznych zadań, a kończąc na antenach fraktalnych, które każdy z nas nosi codziennie ze sobą w telefonie komórkowym.

Najtwardszym argumentem, który, mam nadzieję, ostatecznie przekonuje o powszechności fraktali i ich przyczynieniu się do rewolucji naukowej, jest kosmologia fraktalna i rozważane w ramach tej dziedziny teorie i hipotezy. Na równi z modelem wielkiego wybuchu i modelem wszechświata izotropowego powstał model wszechświata fraktalnego oparty na chaotycznej teorii inflacji, zgodnie z którym wszechświat to jeden wielki i bardzo skomplikowany fraktal. Najnowsze badania eksperymentalne wykazują, że struktury materii w kosmosie wykazują cechy fraktalne, a geometria fraktalna już teraz pozwala na rozwiązanie wielu problemów kosmologii obserwacyjnej. Debata dotycząca fraktalnej teorii wszechświata trwa, a oponenci dostarczają nowych dowodów, broniąc utartych już teorii. Jeżeli bowiem okazałoby się, że fraktalna teoria wszechświata jest prawdziwa, oznaczałoby to skreślenie znacznej części fizyki relatywistycznej z ponad pięćdziesięciu ostatnich lat.

Fraktale w hiperprzestrzeni

Jak zapewne każdego, kto zaczął przygodę z tą dziedziną matematyki, moją uwagę przyciągnęły najpierw piękne kolorowe obrazy i wykresy trajektorii fazowych pewnych systemów dynamicznych. Zainteresowanie przerodziło się w hobby – zacząłem czytać literaturę poświęconą fraktalom, rozwiązywać proste zadania z tego zakresu. Podręczniki i książki dotyczące fraktali i teorii chaosu traktowałem bardziej jak ciekawą lekturę, a rozwiązywane zadania – jak gimnastykę dla mózgu. Z czasem, wgłębiając się w tę tematykę coraz bardziej, zacząłem zauważać, że pewne rzeczy, które wydawały się mi zrozumiałe i spójne z całością teorii fraktali, są jeszcze nieopisane. Jednak głównym bodźcem, który pobudził mnie do przeniesienia zainteresowań fraktalami na płaszczyznę nauki, były pytania wynikające z przeczytanych lektur i chęć odpowiedzi na nie.

Swoje badania rozpocząłem od prób przekształcenia niektórych wielościanów na fraktale i spotkałem się z zadziwiającym faktem przy okazji wielościanów półforemnych. Okazało się, że mimo wielokrotnej symetrii tych brył nie każda z nich może być kształtem wejściowym dla fraktala. Pobudziło to dalsze prace w tym kierunku i obecnie pracuję nad dowodem postawionej hipotezy o możliwości konstruowania fraktali na podstawie wielościanów.

Studiując literaturę dotyczącą fraktali, a w szczególności zagadnienia związane z fraktalami deterministycznymi, nietrudno zauważyć, że np. dywan Sierpińskiego jest dwuwymiarowym uogólnieniem zbioru Cantora, a gąbka Mengera – trójwymiarowym uogólnieniem dwóch poprzednich fraktali. Zadałem sobie pytanie, czy można skonstruować fraktale o wyższych wymiarach przestrzennych i prowadzić dalsze uogólnienia? Postanowiłem to sprawdzić.

Początkowo przyjąłem jako iterację zerową fraktala czterowymiarowy hipersześcian. Moje obliczenia zakończyły się powodzeniem i na świat przyszła czterowymiarowa hipergąbka, będąca uogólnieniem gąbki Mengera. Postanowiłem przeprowadzić dalsze badania w tym zakresie i odnosząc się poprzez analogię do tego, że wielościany platońskie można przekształcić na fraktale, spróbowałem uzyskać fraktale z czterowymiarowych wielotopów foremnych. Przekształcenia zaowocowały pięcioma fraktalami czterowymiarowymi, będącymi uogólnieniem fraktali bazujących na wielościanach platońskich. Jednak wśród czterowymiarowych wielotopów foremnych znajduje się jeszcze jeden, oktapleks lub inaczej 24-komórka, niemająca bezpośrednich odpowiedników w żadnym innym wymiarze. Największym problemem było wyobrażenie sobie tego tworu w przestrzeni czterowymiarowej, ale i on w niedługim czasie został przekształcony na fraktal. W każdej przestrzeni z wymiarem wyższym od czwartego istnieją tylko trzy wielotopy, więc dalsze uogólnienia nie sprawiły większego kłopotu. Analizując M-teorię, opisującą zachowanie tzw. M-bran w przestrzeni jedenastowymiarowej i wykorzystującą m.in. wielotopy foremne, doszedłem do hipotezy, że fraktalną odmianę M-teorii zaproponowaną przez Mohammeda El-Naschiego można zaopatrzyć we fraktale bazujące na wielotopach foremnych. Mam nadzieję, że kiedyś moje fraktale przyczynią się do rozwoju fraktalnej teorii kosmologicznej.

Fraktale a inżynieria

Geometria fraktalna jest tylko jednym z kierunków moich badań. Głównym kierunkiem jest diagnostyka i ocena stopnia degradacji elementów z kompozytów polimerowych. Poznanie algorytmów wykorzystywanych w geometrii fraktalnej pozwoliło mi zastosować je również w problemach praktycznych. Jeden z algorytmów wyznaczania wymiaru fraktalnego wykorzystałem do poszukiwania pęknięć w belkach kompozytowych. Przeprowadzony eksperyment polegał na przeskanowaniu drgającej belki kompozytowej z pęknięciem o głębokości 0.5 mm za pomocą wibrometru laserowego wykorzystującego efekt Dopplera. Odpowiednia obróbka otrzymanych sygnałów pozwoliła otrzymać postacie własne drgań, które z wyglądu niczym nie różniły się od postaci własnych tej belki bez pęknięcia. Dopiero analiza postaci własnych drgań belki z wykorzystaniem wymiaru fraktalnego pozwoliła wykryć wadę w materiale. Istota działania algorytmu polega na wykrywaniu najmniejszych nieciągłości badanych sygnałów. W rozpatrywanym przypadku pęknięcie spowodowało, że sztywność belki w tym miejscu była obniżona, co skutkowało lokalnym odchyleniem od postaci własnej. Poza wysoką czułością metody jest ona znacznie szybsza pod względem obliczeniowym niż inne metody wykorzystywane do takich badań. Pozwala to stosować ją przy tzw. diagnostyce on-line elementów kompozytowych, która jest wykorzystywana m.in. w samolotach. Układy elektroniczne są wtopione w element kompozytowy i sprawdzają jego parametry robocze w sposób ciągły. Pozwala to na szybką reakcję w razie wystąpienia uszkodzenia.

Wymiar fraktalny wykorzystuję również w innych badaniach prowadzonych wspólnie z Uniwersytetem Warszawskim. Zajmujemy się badaniem wpływu parametrów wytwarzania nanokompozytów polimerowych na ich morfologię. Wytwarzając takie kompozyty przy różnych parametrach fizykochemicznych, a następnie analizując fotografie ich nanostruktury uzyskane za pomocą elektronowego mikroskopu skaningowego, możemy określić wymiar fraktalny nanostruktury i dzięki temu otrzymać zależności ilościowe otrzymywanej struktury morfologicznej od parametrów wytwarzania. Możliwe staje się więc kontrolowanie i sterowanie parametrami wytwarzania w zależności od pożądanych właściwości wyjściowych materiału.

Geometria fraktalna otwiera coraz nowsze możliwości przed naukowcami różnych dziedzin. I być może właśnie ona będzie kolejnym bodźcem do skoku naukowego i cywilizacyjnego.