Grupy kwantowe i dorobek prof. Woronowicza

Przestrzenie, w których fizycy modelują rzeczywistość kwantową nie mają punktów, ale mogą być analizowane jako całość na podstawie zadanych im własności. Własności zbiorów symetrii w przestrzeniach bez punktów – to jeden z tematów badań prof. dr. hab. Stanisława Woronowicza, światowej klasy fizyka matematycznego z Katedry Metod Matematycznych Fizyki na Wydziale Fizyki Uniwersytetu Warszawskiego. Zagadnienia związane z tymi

abstrakcyjnymi obiektami matematycznymi są głównym tematem konferencji Algebry operatorów i grupy kwantowe 2011, zorganizowanej w Warszawie z okazji 70. rocznicy urodzin prof. Woronowicza. Pięciodniowa konferencja zaczyna się 19 września i gromadzi najwybitniejszych fizyków matematycznych z całego świata.
Prof. Woronowicz od lat 60. zajmuje się metodami matematycznymi fizyki kwantowej, czyli narzędziami pomagającymi fizykom formułować nowe teorie opisujące świat cząstek elementarnych. W 1979 roku jako pierwszy na świecie zaprezentował pracę o grupach kwantowych i od tego czasu zajmuje się ich badaniem. Wyniki przyniosły mu światowy rozgłos.
Czym są grupy kwantowe? „Pewne wyobrażenie na ich temat można zdobyć przyglądając się temu, co matematycy i fizycy potrafią zrobić z symetriami i zwykłą przestrzenią”, mówi prof. Woronowicz.
Gdy kwadrat obrócimy względem środka o 90 stopni, otrzymamy ten sam kwadrat. Takie przekształcenie nazywamy symetrią obrotową. Symetrie – związane nie tylko z obrotami, ale także z translacją, odbiciami lustrzanymi i innymi przekształceniami – pojawiają się w wielu obiektach matematycznych. Zbiór wszystkich symetrii wybranego obiektu matematycy
nazywają grupą.
Grupy są pojęciem czysto matematycznym, dla fizyków mają jednak fundamentalne znaczenie. Niemiecka matematyczka Emma Noether udowodniła bowiem, że każdej symetrii odpowiada w układzie fizycznym jakieś prawo zachowania. Jeśli ten sam eksperyment przeprowadzimy dziś i za tydzień, otrzymamy praktycznie te same wyniki. Spostrzeżenie wydaje się banalne, ale występująca tu symetria ze względu na przesunięcie w czasie okazuje się prowadzić do niezwykle użytecznej zasady zachowania energii. Podobnie,
te same wyniki tego samego eksperymentu realizowanego w różnych budynkach oznaczają symetrię ze względu na przesunięcie w przestrzeni, z którą jest związana zasada zachowania pędu. Z kolei symetria obrotowa (te same wyniki niezależnie od zorientowania eksperymentu w przestrzeni) skutkuje prawem zachowania momentu pędu. Fizycy i matematycy znają takich symetrii więcej.
Klasyczne grupy działają w klasycznych (przemiennych) przestrzeniach. Przestrzenią przemienną jest na przykład doskonale znana i bardzo intuicyjna przestrzeń euklidesowa. Badania fizyków pokazują jednak, że rzeczywistość działa według innych reguł. Słynne relacje nieoznaczoności Heisenberga mówią, że jeśli najpierw zmierzymy pęd elektronu, a potem jego położenie, otrzymamy inny wynik niż wtedy, gdy postąpimy odwrotnie. Świat
u swych fundamentów jest nieprzemienny.
Sfera jest łatwym do wyobrażenia obiektem, istniejącym w zwyczajnej, zbudowanej z punktów przestrzeni geometrycznej, w której działania są przemienne. Ale w matematyce sferę daje się opisać także za pomocą zbioru operatorów – funkcji przekształcających ją w liczby. Operatory te można w dobrze zdefiniowany sposób dodawać i mnożyć, co (w uproszczeniu) oznacza, że tworzą one strukturę nazywaną algebrą. Algebra ta jest przemienna: obojętnie w jakiej kolejności przemnożymy funkcje, wynik działania będzie
ten sam. Matematycy potrafią jednak zdefiniować inne algebry, w których działania są nieprzemienne. Okazuje się, że choć algebry nieprzemienne nie operują na punktach, nadal mogą mieć pewne własności zwykłej algebry funkcji na sferze.
„Podsumujmy. Na początku była zwykła sfera. Opisaliśmy ją funkcjami i zmieniliśmy strukturę ich algebry z przemiennej na nieprzemienną. Mamy teraz nowy obiekt, który nie jest już typową sferą. Nie składa się z punktów. Nie można go zobaczyć. Jest bardzo abstrakcyjny, ale wciąż ma podstawowe cechy tak dobrze nam znanej sfery. Podobny zabieg – fizycy mówią o kwantowaniu – można zrobić z grupami: przenieść je w przestrzenie
nieprzemienne”, tłumaczy prof. Woronowicz. „Tak powstają grupy kwantowe, obiekty matematyczne o podstawowych cechach klasycznych grup symetrii. Działają jednak nie w zwykłej, łatwej do wyobrażenia przestrzeni z algebrą przemienną, a w przestrzeni z algebrą nieprzemienną, gdzie nie ma nawet punktów”, wyjaśnia prof. Woronowicz.
Czy tak abstrakcyjne pojęcia matematyczne przydają się praktykom? „Metody matematyczne fizyki są rozwijane po to, abyśmy mogli poznać własności pewnych, niekiedy bardzo abstrakcyjnych obiektów matematycznych. Zastosowania? One pojawiają się dopiero po wielu latach, w zupełnie nieprzewidywalnych miejscach”, mówi prof. Woronowicz i dodaje: „Gdy Riemann i inni rozwijali teorię zakrzywionych przestrzeni wielowymiarowych, ich prace wydawały się nie mieć praktycznego znaczenia. Ale to właśnie dzięki nim było możliwe sformułowanie ogólnej teorii względności. Tej samej, bez której dziś nie mogłyby działać systemy nawigacji satelitarnej, ułatwiające nam podróże, a nierzadko pomagające
też ratować życie”.
Jedne z pierwszych prac prof. Woronowicza dotyczyły struktur matematycznych nazywanych odwzorowaniami dodatnimi. Woronowiczowi udało się sklasyfikować pewne ich klasy i wykazać, że wszystkie są określonej postaci. „30 lat temu był to wynik czysto teoretyczny. Dopiero niedawno okazało się, że odwzorowania dodatnie są matematycznie tożsame z kwantowymi kanałami informacyjnymi pojawiającymi się w teorii kwantowej
informacji. A komputery kwantowe to dziś ważny i modny dział współczesnej fizyki”, mówi prof. Woronowicz. Zagadnienia dotyczące odwzorowań dodatnich, podobnie jak wyniki badań prof. Woronowicza związane z grupami kwantowymi, kwantową teorią pola i algebrami C* („ce z gwiazdką”), będą omawiane podczas warszawskiej konferencji.
Dzięki swoim pracom nad grupami kwantowymi prof. Woronowicz cieszy się światowym uznaniem. Jego wyniki są często cytowane przez matematyków i fizyków, m.in. były wykorzystywane przez prof. Alaina Connesa, laureata Medalu Fieldsa. Za badania nad grupami kwantowymi i ich związkami z algebrami C* prof. Woronowicz otrzymał w 1993 roku „polskiego nobla” – nagrodę Fundacji na rzecz Nauki Polskiej. Jest także laureatem tak
prestiżowych nagród jak Nagroda im. Stefana Banacha Polskiej Akademii Nauk i Humboldt Research Award, przyznawana przez Fundację Aleksandra von Humboldta.
Organizatorami konferencji „Algebry operatorów i grupy kwantowe 2011” są Międzynarodowe Centrum Matematyczne im. Stefana Banacha i Wydział Fizyki Uniwersytetu Warszawskiego.
Fizyka i astronomia na Uniwersytecie Warszawskim pojawiły się w 1816 roku w ramach ówczesnego Wydziału Filozofii. W roku 1825 powstało Obserwatorium Astronomiczne. Obecnie w skład Wydziału Fizyki UW wchodzą Instytuty: Fizyki Doświadczalnej, Fizyki Teoretycznej, Geofizyki, Katedra Metod Matematycznych oraz Obserwatorium Astronomiczne. Badania pokrywają niemal wszystkie dziedziny współczesnej fizyki, w skalach od kwantowej do kosmologicznej. Kadra naukowo-dydaktyczna Wydziału składa się z ponad 200 nauczycieli akademickich, wśród których jest 70 pracowników z tytułem
profesora. Na Wydziale Fizyki UW studiuje prawie 700 studentów i ok. 150 doktorantów.

Marek Pawłowski